În general, convergență punctual nu implică convergență în măsura. Cu toate acestea, pentru un spațiu de măsură finită, acest lucru este adevărat și, de fapt, vom vedea în această secțiune că mult mai mult este adevărat.
Convergența aproape peste tot implică convergență în măsură?
Spațiul de măsură în cauză este întotdeauna finit, deoarece măsurile de probabilitate atribuie probabilitatea 1 întregului spațiu. Într-un spațiu de măsură finită, aproape peste tot convergența implică convergență în măsură. Prin urmare, aproape convergența implică convergență în probabilitate.
Convergența punctual implică continuitate?
Deși fiecare fn este continuu pe [0, 1], limita lor punctual f nu este (este discontinuă la 1). Astfel, convergența punctuală nu păstrează, în general, continuitatea.
Convergența în L1 implică convergență punctual?
Deci convergența punctual, convergența uniformă și convergența L1 nu se implică una pe ceal altă. Avem, totuși, câteva rezultate pozitive: Teorema 7 Dacă fn → f în L1, atunci există o subsecvență fnk astfel încât fnk → f punctual a.e.
Ce este convergența în teoria măsurării?
În matematică, mai precis în teoria măsurilor, există diverse noțiuni de convergență a măsurilor. Pentru o înțelegere generală intuitivă a ceea ce se înțelege prin convergență în măsură, luați în considerare o secvență de măsuri μ pe un spațiu, care are o colecție comunăde seturi măsurabile.
