Prima teoremă pe care Pugh demonstrează odată ce definește Integrala Riemann este că integrabilitatea implică mărginirea. Aceasta este Teorema 15 de la pagina 155 din ediția mea. Acest lucru arată că trebuie mai întâi să ajungeți de acord asupra definițiilor.
Integrabilul Riemann implică mărginit?
Teorema 4. Fiecare funcție integrabilă Riemann este mărginită.
Sunt funcțiile nelimitate integrabile?
O funcție nelimitată nu este Riemann integrabilă. În cele ce urmează, „integrabil” va însemna „integrabil Riemann, iar „integral” va însemna „integral Riemann”, dacă nu este specificat în mod explicit altfel. f(x)={ 1/x dacă 0 < x ≤ 1, 0 dacă x=0. deci sumele Riemann superioare ale lui f nu sunt bine definite.
Este o funcție integrabilă Lebesgue limitată?
Funcțiile măsurabile care sunt mărginite sunt echivalente cu funcțiile integrabile Lebesgue. Dacă f este o funcție mărginită definită pe o mulțime măsurabilă E cu măsură finită. Atunci f este măsurabil dacă și numai dacă f este integrabil Lebesgue. … Pe de altă parte, funcțiile măsurabile sunt „aproape” continue.
Cum știți dacă o funcție este integrabilă Lebesgue?
Dacă f, g sunt funcții astfel încât f=g aproape peste tot, atunci f este integrabil Lebesgue dacă și numai dacă g este integrabil Lebesgue, iar integralele lui f și g sunt la fel dacă există.
