Fie P un subgrup Sylow p al lui G. … Dacă G este simplu, atunci are 10 subgrupuri de ordinul 3 și 6 subgrupuri de ordinul 5. Cu toate acestea, deoarece aceste grupuri sunt toate ciclice de ordinul prim, orice element non-trivial al lui G este conținut în cel mult unul dintre aceste grupuri.
Grupurile P sunt ciclice?
Grupul banal este singurul grup de ordin, iar grupul ciclic C p este singurul grup de ordin p.
Sunt subgrupurile ciclice?
Teorema: Toate subgrupurile unui grup ciclic sunt ciclice. Dacă G=⟨a⟩ este ciclic, atunci pentru fiecare divizor d al lui |G| există exact un subgrup de ordinul d care poate fi generat de a|G|/d a | G | / d. Dovada: Fie |G|=dn | G |=d n.
Sunt normale subgrupurile P Sylow?
Dacă G are exact un subgrup p Sylow, trebuie să fie normal din Subgrupul unic al unui ordin dat este Normal. Să presupunem că un p-subgrup P Sylow este normal. Apoi egalează conjugatele sale. Astfel, după a treia teoremă Sylow, poate exista doar un astfel de subgrup Sylow p.
Sunt subgrupurile P sylow abeliene?
Demonstrăm că p-subgrupurile Sylow ale unui grup finit G sunt abelian dacă și numai dacă mărimile claselor p-elementelor lui G sunt toate coprime la p, și, dacă p ∈ { 3, 5 }, gradul fiecărui caracter ireductibil din blocul p principal al lui G este coprim la p.
