Notă: este adevărat că fiecare secvență mărginită conține o subsecvență convergentă și, în plus, fiecare secvență monotonă converge dacă și numai dacă este mărginită. Adăugat Consultați intrarea despre Teorema de convergență monotonă pentru mai multe informații despre convergența garantată a secvențelor monotone mărginite.
Fiecare secvență mărginită converge în R?
Teorema afirmă că fiecare secvență mărginită din R are o subsecvență convergentă. O formulare echivalentă este aceea că un subset de R este secvenţial compact dacă şi numai dacă este închis şi mărginit. Teorema este uneori numită teorema de compactitate secvențială.
Fiecare succesiune mărginită de numere reale este convergentă?
Răspuns și explicație: (a) Este fiecare șir mărginit convergent? Nu.
Fiecare secvență monotonă mărginită converge?
Nu toate secvențele mărginite, cum ar fi (−1)n, converg, dar dacă am ști că secvența mărginită este monotonă, atunci acest lucru s-ar schimba. dacă an ≥ an+1 pentru tot n ∈ N. O succesiune este monotonă dacă este fie crescătoare, fie descrescătoare. și mărginit, apoi converge.
Toate secvențele mărginite au o subsecvență convergentă?
Teorema Bolzano-Weierstrass: Fiecare succesiune mărginită din Rn are o subsecvență convergentă. a lui {xmk } este o secvență mărginită de numere reale, deci are și o subsecvență convergentă,… Dimpotrivă, fiecare șir mărginit este într-omulțime închisă și mărginită, deci are o subsecvență convergentă.
