În matematică, un subset al unui spațiu topologic este numit nicăieri dens sau rar dacă închiderea sa are interiorul gol. Într-un sens foarte liber, este un set ale cărui elemente nu sunt strâns grupate nicăieri. De exemplu, numerele întregi nu sunt nicăieri dense printre reali, în timp ce o minge deschisă nu este.
Este 1 N nicăieri dens?
Un exemplu de set care nu este închis, dar nu este încă dens nicăieri este {1n|
∈N}. Are un punct limită care nu este în set (și anume 0), dar închiderea sa nu este încă densă nicăieri, deoarece nu se potrivește intervale deschise în {1n|n∈N}∪{0}.
Cum demonstrezi că un set nu este nicăieri dens?
O submulțime A ⊆ X se numește nicăieri dens în X dacă interiorul închiderii lui A este gol, adică (A)◦=∅. Altfel spus, A nu este dens nicăieri dacă este conținut într-un set închis cu interiorul gol. Trecând la complemente, putem spune în mod echivalent că A nu este dens nicăieri dacă complementul său conține o mulțime densă deschisă (de ce?).
Ce înseamnă peste tot dens?
O submulțime A a unui spațiu topologic X este dens pentru care închiderea este întregul spațiu X (unii autori folosesc terminologia peste tot densă). O definiție alternativă comună este: o mulțime A care intersectează fiecare submulțime deschisă nevidă a lui X.
Fiecare set dens este deschis?
Un spațiu topologic X este hiperconectat dacă și numai dacă fiecare set nevid open este dens în X. Un spațiu topologic este submaximal dacă și numai dacăfiecare subset dens este deschis.
